明代数学家--程大位

wearegood

一



    程大位，字汝思，号宾渠，安徽省休宁县率口（今安徽省屯溪市前园村）人。生于明嘉靖十二年四月十日（公元1533年5月3日）。殁于明万历三十四年八月十七日（公元1606年9月18日）。据《程氏宗谱》记载，率口程氏系晋新安太守程元谭之后。程元谭有德政，赐田宅，乃居于歙之城西，为新安程氏一世祖。历六世至南北朝的宋代，程宝云迁居歙县篁墩。篁墩程氏祠堂遗址至今犹存。后历三十六世至北宋时，程安尚迁居休宁，三十七世的程敦福定居率口。程大位为程元谭的五十一世孙。现在居住在前园村的程康候，程永萱兄弟是程元谭的六十一世孙。

    程大位出身商人，其故居在今屯溪市前园村四号，从建筑的规模来看，不是什么巨商大贾。徽州人外出经商的很多，徽商遍及全国，素有"无徽不成镇"之称。程氏二十岁左右，在长江中下游一带经商；四十岁后，弃商返家，专心钻研数学，"归而覃思于率水之上余二十年"。认真钻研古籍，译其文义，审其成法，遍取各家之长，加上自己的心得体会，于明万历壬辰（公元1592年）写成《直指算法统宗》（以下简称《统宗》）这部巨著，自己出资在屯溪刊行；后六年，程大位又在《统宗》的基础上"删其繁芜，揭其要领"写成《算法纂要》四卷，也在屯溪自费刊行。



二



    《算法统宗》十七卷，主要内容除加减乘除难题之外，从第三卷起，以《九章算术》的九章为篇名（其中《粟米》改为《粟布》，《盈不足》改为《盈月肉》）分章论述，书末附载《算经源流》一篇。书中列举算题五百九十五个，绝大部分是应用问题，结合实际，富有趣味，且都附有解法。从十三卷至十六卷，集录了许多"难题"。现在民间流传的一些珠算乘除简法，书中都有记载。

    全书从启蒙到应用提高，循序渐进，系统性强。许多算法、例题都以诗词歌谣形式出现，浅显易记，便于学习。如"归因总歌"：

"归从头上起，因从足下生，逢如须加位，言十在本身"

"留头乘法则"：

"下乘之法此为真，起手先将第二因，三四五来乘遍了，都将本位破其身"

    特别是根据元贾享编的歌诀概括而成的归除法则，讲得更为透彻：

    "唯有归除法最奇，将身归了次除之。有归若是无除数，起一还将原数施。或遇本归归不得，撞珠之法莫教迟，若人识得中间意，算学虽深可尽知。"

    《九章算术》是我国最古老的数学经典著作。程大位以《九章》篇目为纲，结合当时社会实际，系统介绍数学理论，启示后人，振兴数学。以《方田》章为例，首先说明学习本章之目的在于“以田畴界域之形状，求亩步之积实”。继而指出丈量田地的原则：“按田之形状最多，具难载尽，学者不必拘泥，在于临场机变，必须截盈补虚，俾尖减大，以合规式”。书中列出方、直、色股、圭棱等面积公式，再把其它各种形状的田转化为"规式"求之。公式也以歌诀形式出现，简单易懂，便于记忆和运用，如“环田内外周相并，折半须得径步乘梯斜两头须并折，长乘便见积分明”。实较《九章算术》方田详细实用。

    《统宗》很重视形转结合，利用图形变换来论证算法的依据，即所谓“演段根源图”。以程氏的话来说，即“夫算之说，入则诸用，出则直田，盖直田能致诸用而有此说，设立演段，盖欲演算之片断。也知片段则能穷根源，既知根源而心无蒙味矣”。特别是讲了珠算平方、开立方之后，许多二次、三次方程都经巧妙配方归结为开平方。开立方的问题而获得解决。

    十三至十六卷中的“难题”，作者则认为“难题不难”，都是“似难而实非难，唯其词语巧捏，使算师一时迷惑莫知措手”而已。对“难题”“惟在乎立法，法既明，则迎刃而破，又何难之哉！”从根本上给学者指出分析问题，解决问题的关键。这些题目也以诗词歌谣形式出现。如：

“当年苏武去北边，不知去了几周年。分明记得天边月，二百三十五番圆。”

“今携一壶酒，游春郊外走。逢朋添一倍，入店饮九斗。相逢三处店，饮尽壶中酒。试问能算士，如何知原有。”

    这一类题目，富有民族特色，能激发学习兴趣，开发智力，有的还可培养爱国主义思想感情，即在今天，也还值得推荐。

    程大位对各家的理论、算法所采取的态度是“前法之未发者明之，末备者补之，繁芜者删之，疏略者详之”。对于过去的一些错误解法，也订其论谬，清其句读，便于初学。从下面一则例题，可见一斑：

题：诸葛统领八员将，每将又分八个营。

    每营里面排八阵，每阵先锋有八人。

    每人旗头俱八个，每个旗头八队成。

    每队更该八个甲，每个甲头八个兵。

答：一千九百一十七万三千三百八十五人。

古人马杰对此题误解为88（兵）+1（总兵）=16777217（人）

程氏指出，除营、阵不作数外，应是：

1（总兵）+8（将）+84（先锋）+85（旗头）+86（队长）+87（甲）+88（兵）=19173385（人）。

    书末附载《算经源流》中，戴有宋元丰、绍兴、淳熙以来刊刻的算书，如《盘珠集》、《走盘集》等，从这一篇里可以看出略知明以前中国数学发展概况。

    《统宗》集前此珠算之成成，在我国数学史上是有其重要地位的，它标志着由筹算到珠算这一转变的完成，从此珠算成为主要的计算工具。《统宗》刊行以后，深受欢迎。第二年就有人翻刻谋划。据程大位自序：“万历壬辰，余编统宗算法四本，……，明年癸已，书坊射利，图秀文字俱讹，致误后学"其后，康熙五十五年（1716）程大位的曾孙孙兴绥又重印此书，序言中也说《统宗》"风行字内，迄今盖已百有数十余年，海内握算持筹之士，莫不家藏一篇，若业制举者之于四子书、五经义、翕然奉以为宗"①明代日本毛利重能两次来到中国，他第二次回国时，带去了《统宗》，经研究推广，开日本"和算"之先河。除日本外，《统宗》还传入朝鲜、东南亚等国。在《统宗》之前，明隆庆二年（1568）刊行的新安宛陵杨博的《算林拔萃》。明万历十六年（1588）年刊行的新安朱元浚的《庸章算法》，虽然都适应当时皖南商人和农民的需要，但与《统宗》相比，都远远逊色。无怪中算史专家李俨先生在《中国古代数学简史》中对此书有极高的评价，他指出"在中国古代数学整个发展过程中，《算法统宗》是一部十分重要的著作。从流传长久、广泛和深入来说，那是任何其他数学著作不能与它相比的”。



三



    据记载，程大位"幼年聪敏好学，常不惜重赀以购求遗书"，"遇方田、栗米、差分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股诸书，辄厚资研得之"。他利用外出经商的机会，遇有"通数学者，辄造请告难，孜孜不倦"。在《统宗》中，就刻有"师生问难图"，一个青年手持算盘，向老者请教，态诚甚恭，实际就是他自己的写照。程大位有这样的数学基础，又加上身居农村，外出经商多年，接触了大量的实际问题，如物资分配、田亩测量、容积计算、运输、赋税等等，均为他所熟稔。因此他的治学思想和方法自然与商业息息相关，受到商业技术熏陶，始终着眼于应用。《统宗》所收近六百题中，绝大部分是应用题，就是那些纯数学问题，也都是为解决实际问题作准备的。他还创造了测量田亩用的"丈量步车"。从《统宗》中他所画的视图和立体图看，步车系用竹篾条制成，外套以十字形木架，很象现在用的钢卷尺，程氏对自己的这一发明创造，甚感自豪，在图的两边以篆书题了副对联："宾渠制就心机巧，隶首②传来数学精。"

    由于时代的局限性，程大位对数学的起源的认识是唯心的，认为数学起源于"河图"、"洛书"；然而他对数学知识的来源认识却是基本正确的，认为来源于客观实际。因而程大位对数学应用的广泛性有明确的认识。他认为数学的应用最广泛，"远而天地之高广，近而山川之浩衍；大而朝庭军国之需，小而民生日用之资，皆莫级外"。近代数学家华罗庚先生指出："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学"。由于时代的不同，程氏不可能提出华先生那样的认识，但在数学应用的广泛性这一点上我认为基本上是一致的。基于这一正确的观点，程氏又身处我国封建社会孕育着资本主义萌牙时期的明末，因此能适应商业计算的需要，结合农业生产，潜心研究数学，其成果必然十分切合实用。

    从程大位的著作中，我们还可以窥见他的数学教育思想，这种思想与杨辉的先进数学教育思想一脉相承的。我们知道，传统的数学教育思想是以《九章》为宗；而杨氏则主张先学基本算法，以此为基础。再学九章。程氏在《统宗》中先讲算法，再以《九章》篇名为纲，列章讲述其应用。他还主张思想教育领先，首先应使学者了解学习数学的重要性。他在卷首《西江月》中指出：“世间六艺任纷纷，算乃人之根本；知书不知算法，如临暗室昏昏”。正因为如此，他十分重视概念的学习，弄清算学中的用词释义，强调熟记口诀，定位的规律和分清数的大小等等。

    程氏所处的时代，正是中国数学走下坡路的时代，统治阶级包括一些知识分子蔑视一切自然科学，宋、元时期的一些数学书籍至此大都散失，传统数学几乎失传。清人阮元称明代为“中算黑暗时代③”。英人李约瑟在《中国科学技术史》中也说：“在明初一百五十年间，数学上几乎没有什么令人注目的东西”。程际明在《统宗》序言中也说：“六艺之教既寝，西算数之学，儒者绝不能举棋概”。明代汪道昆在《太函集》中就曾这样说：“《九章》贾者事，何学为？”一种对数学蔑视之意溢于言表！特别是珠算，更被视为不登大雅之堂的雕虫小技。在这样的时代，一个商人，能不惜重资购买算书，“殚思竭虑，克道其术”写出世人瞩目的巨著，并且自己出资锓梓以传，且不断增删，多次发行。这种精神，实为难能可贵！正因此，程大位被有识之士所推崇，赠以“隶首新传”的匾额，高悬于大厅之上数百年。笔者于1966年春再访程大位后人时，还见到此匾，上有四个金碧大字，后面还有跋语，从下面不易看清，原拟改日登梯抄录，不久十年动乱，旋即被毁。这一有价值的文物未能保存，迄今思之，犹感痛惜！

    象程大位这样卓有成就的人，现在我们徽州有许多人却不知道他。过去，笔者曾查阅过《休宁县志》也不见有记载。在封建社会里，“士农工商”，商居末位，程大位以一个经商到治学的"布衣"当然不可能被重视的。现在，是我们对这位"珠算一代宗师"进行评价和研究的时候了。相信今后将有不少的成果在我们屯溪涌现。

注：1、清康熙版本《算法统宗》，以下引文末注明出处者均同。

2、隶首，传说为黄帝时人，始定算数。

3、李俨《中算史论丛》（二）“明代算书”。

参考文献：

华印椿《论珠算宗师程大位的珠算成就》

李迪《程大位的数学思想》

陈兰临《试论程大位的珠算教育思想》